Question

圓錐曲線上任意兩點連成的線段稱為弦。若圓錐曲線上的一條弦垂直于其對稱軸，我們將該弦稱之為曲線的垂軸弦。已知點、是圓錐曲線C上不與頂點重合的任意兩點，是垂直于軸的一條垂軸弦，直線分別交軸于點和點。

（1）試用的代數式分別表示和；
（2）若C的方程為（如圖），求證：是與和點位置無關的定值；
（3）請選定一條除橢圓外的圓錐曲線C，試探究和經過某種四則運算（加、減、乘、除），其結果是否是與和點位置無關的定值，寫出你的研究結論并證明。

Answer 1

（1），
（2）證明略
（3）略

（1）因為是垂直于軸的一條垂軸弦，所以
          則……………2分
令則……………. 4分
同理可得：，……………. 6分
（2）由（1）可知：……………. 8分
在橢圓C：上，，
則（定值）
是與和點位置無關的定值       ……12分
（3）第一層次：
①點是圓C：上不與坐標軸重合的任意一點，是垂直于軸的垂軸弦，直線分別交軸于點和點，則。……………. 16分
證明如下：由（1）知：  
在圓C：上，，
則
是與和點位置無關的定值
②點是雙曲線C：上不與頂點重合的任意一點，是垂直于軸的垂軸弦，直線分別交軸于點和點，則。…………… 16分
證明如下：由（1）知：  
在雙曲線C：上，，
則
是與和點位置無關的定值
第二層次：
點是拋物線C：上不與頂點重合的任意一點，是垂直于軸的垂軸弦，直線分別交軸于點和點，則。…………18分      
證明如下：由（1）知： ，
在拋物線C：上，
則
是與和點位置無關的定值