Question

【題目】已知拋物線：的焦點為，過作斜率為的直線交于，兩點，以線段為直徑的圓.當時，圓的半徑為2.

（1）求的方程；

（2）已知點，對任意的斜率，圓上是否總存在點滿足，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，理由見解析.

【解析】

（1）依題意，不妨設在第一象限，當時，，，由圓的直徑可求得，可得拋物線方程.

（2）設直線：，，，聯立得，可得出圓的方程，假設存在點滿足，則在以為直徑的圓上.由圓與圓的位置關系可得解.

（1）依題意，不妨設在第一象限，

當時，，，∴，∴，

∴拋物線方程為.

（2）設直線：，，，

由得，∴，，

∴，

∴圓的半徑.

又，，∴.

∴圓的方程為.

即，

假設存在點滿足，則在以為直徑的圓上.

∴，圓的半徑.

法一：（i）若，圓心距，

∵，

∴圓與圓內切，有一個交點；

（ii）當時，，重合，，

所以對任意的，圓上存在點，使得.

法二：（i）當時，圓：，即.

聯立，

①-②得：即，代入②得：

.

，

所以兩圓相切，有一個交點.

（ii）當時，，重合，，

即對任意的，圓上存在點，使得.