Question

【題目】已知函數.

（1）若曲線與直線在處相切.

①求的值；

②求證：當時，；

（2）當且時，關于的不等式有解，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）①②見解析（2）

【解析】

（1）①求出導函數，由可求得，再由可求得，從而得；②引入函數，利用導數求函數的最小值（需二次求導確定），確定最小值是，從而證得不等式成立；

（2）不等式分離參數得，原題等價于時，有解.求出的最小值即可得，為此先證明不等式，仍然構造新函數，利用導數研究新函數的單調性與最值得出結論．應用剛證的不等式可得結論．

解：（1）①因為，所以.

因為曲線與直線在處相切，

所以，所以.

所以，所以.

又切點在直線上，所以，

所以，所以

② 由①知，可設，

則，

當時，，當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，

由，所以，

所以存在，使得，

所以當時，，當時，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.

因為，所以，

即，當且僅當時取等號，

所以當時，，

故當時，

(3）先證. 構造函數，則.

故當時，，在上遞增，當時，，在上遞減，

所以，即

又當，且時，等價于

故原題等價于時，有解.

因為（當時取等號），

所以.