Question

若(x-

3

x2

)n的二項展開式中，所有項的系數之和為-512，則展開式中的常數項是

-2268

．

Answer 1

分析：由題意可得（1-3）ⁿ=-512，解得 n=9．在 (x-

3

x2

)n的二項展開式的通項公式中，令x的系數等于0，求出r=3，即可得到展開式中的常數項．

解答：解：由題意可得（1-3）ⁿ=-512，解得 n=9，故(x-

3

x2

)n的二項展開式中，通項公式為 T_r+1=

C

r 9

 x^9-r （-3）^r x^-2r=（-3）^r

C

r 9

 x^9-3r．
令 9-3r=0，可得 r=3，則展開式中的常數項是-27×

C

3 9

=-2268，
故答案為-2268．

點評：本題主要考查二項式定理，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，求出n=9，是解題的關鍵，屬于中檔題．