Question

求適合下列條件的圓錐曲線的標準方程：
（1）長軸長是短軸長的2倍，且經過點P（2，0）的橢圓；
（2）焦點在y軸上，a=2

5

，經過點A（2，5）的雙曲線；
（3）頂點在原點，對稱軸是坐標軸，并經過點P（1，-2）的拋物線．

Answer 1

考點：雙曲線的標準方程,橢圓的標準方程,拋物線的標準方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）當橢圓焦點在x軸，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由已知得a=2，b=1；當橢圓焦點在x軸，設橢圓方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0），由已知得a=4，b=2．由此能求出橢圓方程．
（2）設雙曲線標準方程為：

y2

a2

-

x2

b2

=1，a＞0，b＞0，由已知得

a=2 5 25 a2 - 4 b2 =1

，由此能求出雙曲線方程．
（3）當焦點在x軸正半軸，設方程為y²=2px，p＞0；當焦點在y軸負半軸，設方程為x²=-2py，p＞0．再代入（1，-2），能求出拋物線方程．

解答： 解：（1）當橢圓焦點在x軸，設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知得a=2，b=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
當橢圓焦點在x軸，設橢圓方程為

x2

b2

+

y2

a2

=1（a＞b＞0），
由已知得a=4，b=2，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

16

=1．
（2）設雙曲線標準方程為：

y2

a2

-

x2

b2

=1，a＞0，b＞0，
由已知得

a=2 5 25 a2 - 4 b2 =1

，解得b=4，
∴雙曲線方程為

y2

20

-

x2

16

=1
（3）當焦點在x軸正半軸，設方程為y²=2px，p＞0
代入（1，-2），則4=2p，解得p=2，
拋物線方程為y²=4x．
當焦點在y軸負半軸，設方程為x²=-2py，p＞0，
代入（1，-2），則1=4p，解得p=

1

4

，
拋物線方程為x²=-

1

2

y．

點評：本題考查橢圓、雙曲線、拋物線方程的求法，是基礎題，解題時要注意圓錐曲線的性質的合理運用．