Question

已知函數f（x）=

1

1+x2

，
（1）求證：函數f（x）是偶函數；
（2）利用函數單調性定義證明函數f（x）在（-∞，0]上是增函數；
（3）求函數f（x）=

1

1+x2

在[-3，2]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數單調性的性質

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）運用奇偶性的定義，先求定義域，再計算f（-x），與f（x）比較即可；
（2）運用單調性的定義，注意取值、作差、變形和定符號、下結論幾個步驟；
（3）由奇偶函數的單調性，得到函數f（x）=

1

1+x2

在[-3，0]遞增，（0，2]上遞減，即可得到最值．

解答： （1）證明：函數f（x）的定義域為R，
f(-x)=

1

1+(-x)2

=

1

1+x2

=f(x)，
∴函數f（x）為偶函數；
（2）證明：設x₁＜x₂≤0，
f（x₁）-f（x₂）=

1

1+x12

-

1

1+x22

=

x22-x12

(1+x12)(1+x22)

=

(x2-x1)(x2+x1)

(1+x12)(1+x22)

，
∵x₁＜x₂≤0，∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）在（-∞，0]上是增函數；
（3）解：由（1）（2）得，f（x）在（-∞，0]上增，在（0，+∞）上減，
則函數f（x）=

1

1+x2

在[-3，0]遞增，（0，2]上遞減，
∴f_max（x）=f（0）=1，f_min（x）=f（-3）=

1

10

．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性的判斷與證明和運用：求最值，考查運算能力，屬于基礎題．