Question

【題目】已知函數f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.

(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；

(2)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與直線x＋y＋1＝0垂直，證明：>0.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，

當λ＝0時，f(x)＝ln x－x＋1.

則f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.

當0<x<1時，f′(x)>0，∴f(x)在(0,1)上是增函數；

當x>1時，f′(x)<0，∴f(x)在(1，＋∞)上是減函數．

故f(x)在x＝1處取得最大值f(1)＝0.

(2)證明：由題可得，f′(x)＝λln x＋－1.

由題設條件，得f′(1)＝1，即λ＝1.

∴f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1.

由(1)知，ln x－x＋1<0(x>0，且x≠1)．

當0<x<1時，f(x)＝(x＋1)ln x－x＋1＝xln x＋(ln x－x＋1)<0，

>0.

當x>1時，f(x)＝ln x＋(xln x－x＋1)＝ln x－x>0，∴>0.

綜上可知，>0.