Question

在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，點E、F分別在A₁B、A₁D上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D.

（1）求證：A₁C⊥平面AEF；

（2）若規定兩個平面所成的角是這兩個平面所組成的二面角中的銳角（或直角），則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個平面，則這兩條直線所成的角與這兩個平面所成角相等.

試根據上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5時，求平面AEF與平面D₁B₁BD所成的角的大小.

Answer 1

解析：建立如圖所示直角坐標系.?

?

（1）證明：∵CB⊥面ABB₁A₁，A₁B⊥AE，∴A₁C⊥AE.?

同理，A₁C⊥AF，AF∩AE=A.?

∴A₁C⊥面AEF.?

（2）由題意得A₁C⊥面AEF.?

設xAy平面內的單位向量為e,?

e=(x,y,0),e⊥BB₁,只需e⊥BD即可.?

B（4，0，0），D（0，3，0），=（-4，3，0），?

∴e=(,,0).?

∴兩面夾角即為e與向量的夾角.?

A₁（0，0，5），C（4，3，0），?

∴=（4,3,-5）.?

∴cosθ=.?

∴θ＝arccos.