Question

【題目】已知拋物線，圓，圓心到拋物線準線的距離為3，點是拋物線在第一象限上的點，過點作圓的兩條切線，分別與軸交于兩點.

（1）求拋物線的方程；

（2）求面積的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由圓心到拋物線準線的距離為3，即可得到拋物線的方程；

（Ⅱ）由題意可設切線方程為：，進而得到切線與x軸的交點為，由圓心到切線方程的距離為半徑，得到，由韋達定理，可得到的函數關系式，利用函數的單調性可求出面積最小值.

試題解析：（Ⅰ）由題知，所以拋物線方程為：．

（Ⅱ）設切線方程為：，令y=0，解得，

所以切線與x軸的交點為，

圓心(2，0)到切線的距離為，

∴，

整理得：．

設兩條切線的斜率分別為，

則，

∴

記，則．

∵，∴在上單增，

∴，∴，

∴面積的最小值為．