Question

（09年西城區抽樣理）（14分）

   已知f是直角坐標平面xOy到自身的一個映射，點在映射f下的象為點，記作.

設，,. 如果存在一個圓，使所有的點都在這個圓內或圓上，那么稱這個圓為點的一個收斂圓. 特別地，當時，則稱點為映射f下的不動點.

    (Ⅰ) 若點在映射f下的象為點.

  1 求映射f下不動點的坐標；

  2 若的坐標為(1,2)，判斷點是否存在一個半徑為3的收斂圓，并說明理由.

(Ⅱ) 若點在映射f下的象為點,(2,3). 求證：點存在一個半徑為的收斂圓.

Answer 1

解析：（Ⅰ）1解：設不動點的坐標為，

         由題意，得，解得，

         所以映射f下不動點為.                        -------------------2分

2結論：點不存在一個半徑為3的收斂圓.

   證明：由，得，

   所以，

   則點不可能在同一個半徑為3的圓內，

   所以點N^*)不存在一個半徑為3的收斂圓.     ------------------5分

 （Ⅱ）證明：由，得.                 

         由，得，                 ---------------7分

         所以，

         由，得，

         所以，                 ------------------9分

         即，

         由，得，同理，

         所以，

         所以數列N^*)都是公比為的等比數列，首項分別為 

     ，

         所以，

         同理可得.     ------------------12分

         所以對任意N^*，，

         設，則，

         所以，

         故所有的點都在以為圓心，為半徑的圓內或圓上，

        即點存在一個半徑為的收斂圓.            ----------------14分