Question

如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,點M在AD₁上移動,點N在BD上移動,D₁M=DN=a(0<a<),連接MN.

(1)證明對任意a∈(0,),總有MN∥平面DCC₁D₁.
(2)當a為何值時,MN的長最小?

Answer 1

(1)見解析  (2) 當a=時,MN的長有最小值

(1)作MP∥AD,交DD₁于P,作NQ∥BC,交DC于Q,連接PQ.

由題意得MP∥NQ,且MP=NQ,
則四邊形MNQP為平行四邊形.
∴MN∥PQ.
又PQ?平面DCC₁D₁,MN?平面DCC₁D₁,
∴MN∥平面DCC₁D₁.
(2)由(1)知四邊形MNQP為平行四邊形,
∴MN=PQ,
由已知D₁M=DN=a,DD₁=AD=DC=1,
∴AD₁=BD=,
∴D₁P∶1=a∶,DQ∶1=a∶,
即D₁P=DQ=.
∴MN=PQ=
=
=(0<a<),
故當a=時,MN的長有最小值.
即當M,N分別移動到AD₁,BD的中點時,MN的長最小,此時MN的長為.