Question

某海域有A、B兩個島嶼，B島在A島正東4海里處．經多年觀察研究發現，某種魚群洄游的路線是曲線C，曾有漁船在距A島、B島距離和為8海里處發現過魚群．以A、B所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系．
（1）求曲線C的標準方程；
（2）某日，研究人員在A、B兩島同時用聲納探測儀發出不同頻率的探測信號（傳播速度相同），A、B兩島收到魚群在P處反射信號的時間比為5：3，問你能否確定P處的位置（即點P的坐標）？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據橢圓的定義，由題意知曲線C是以A、B為焦點且長軸長為8的橢圓，又2c=4，從而得出a，b的值即可得到曲線C的方程；
（2）由于A、B兩島收到魚群發射信號的時間比為5：3，因此設此時距A、B兩島的距離分別比為5：3，即魚群分別距A、B兩島的距離為5海里和3海里．再設P（x，y），B（2，0），由|PB|=3，及橢圓的方程列出方程組即可解出點P的坐標．
解答：解：（1）由題意知曲線C是以A、B為焦點且長軸長為8的橢圓         （3分）
又2c=4，則c=2，a=4，故（5分）
所以曲線C的方程是（6分）
（2）由于A、B兩島收到魚群發射信號的時間比為5：3，
因此設此時距A、B兩島的距離分別比為5：3（7分）
即魚群分別距A、B兩島的距離為5海里和3海里．       （8分）
設P（x，y），B（2，0），由|PB|=3，
∴，（10分）∴，（12分）
∴x=2，y=±3（13分）．
∴點P的坐標為（2，3）或（2，-3）（14分）．
點評：本題考查橢圓問題在生產實際中的具體應用，涉及到橢圓方程的求法，橢圓的簡單性質，橢圓的直線方程的關系，解題時要認真審題，注意轉化思想的靈活運用．