Question

某海域有A、B兩個島嶼，B島在A島正東40海里處．經多年觀察研究發現，某種魚群洄游的路線像一個橢圓，其焦點恰好是A、B兩島．曾有漁船在距A島正西20海里發現過魚群．某日，研究人員在A、B兩島同時用聲納探測儀發出不同頻率的探測信號（傳播速度相同），A、B兩島收到魚群反射信號的時間比為5：3．你能否確定魚群此時分別與A、B兩島的距離？

Answer 1

分析：以AB的中點為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系．設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)且c=

a2-b2

．由焦點A的正西方向橢圓上的點為左頂點，知a-c=20，由|AB|=2c=40，知c=20，a=40，b=20

3

，由此能求出魚群的運動軌跡方程是

x2

1600

+

y2

1200

=1．從而能夠求出魚群分別距A，B兩島的距離．

解答：解：以AB的中點為原點，AB所在直線為x軸建立直角坐標系
設橢圓方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)且c=

a2-b2

------（3分）
因為焦點A的正西方向橢圓上的點為左頂點，
所以a-c=20------（5分）
又|AB|=2c=40，
則c=20，a=40，
故b=20

3

------（7分）
所以魚群的運動軌跡方程是

x2

1600

+

y2

1200

=1------（8分）
由于A，B兩島收到魚群反射信號的時間比為5：3，
因此設此時距A，B兩島的距離分別為5k，3k-------（10分）
由橢圓的定義可知5k+3k=2×40=80⇒k=10--------（13分）
即魚群分別距A，B兩島的距離為50海里和30海里．------（14分）

點評：本題考查橢圓問題在生產實際中的具體應用，涉及到橢圓方程的求法，橢圓的簡單性質，橢圓的直線方程的關系，解題時要認真審題，注意轉化思想的靈活運用．