Question

已知命題p：“存在實數a，使直線x+ay-2=0與圓x²+y²=1有公共點”，命題q：“存在實數a，使點（a，1）在橢圓

x2

8

+

y2

2

=1內部”，若命題“p且?q”是真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

∵直線x+ay-2=0與圓x²+y²=1有公共點
∴

2

1+a2

≤1⇒a²≥1，即a≥1或a≤-1，
命題p為真命題時，a≥1或a≤-1；
∵點（a，1）在橢圓

x2

8

+

y2

2

=1內部，
∴

a2

8

+

1

2

＜1即a2＜4，即-2＜a＜2，
命題q為真命題時，-2＜a＜2，
由復合命題真值表知：若命題“p且?q”是真命題，則命題p，￢q都是真命題
即p真q假，則

a≥1或a≤-1 a≥2或a≤-2

⇒a≥2或a≤-2．
故所求a的取值范圍為（-∞，-2]∪[2，+∞）．