Question

已知在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，點(diǎn)P（x，y）在曲線C：

x=1+cosθ y=sinθ

(θ為參數(shù)，θ∈R）上運(yùn)動(dòng)．以O(shè)x為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ+

π

4

)=0．
（Ⅰ）寫出曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在曲線C上移動(dòng)，試求△ABM面積的最大值．

Answer 1

（1）消去參數(shù)θ，得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-1）²+y²=1．
由ρcos(θ+

π

4

)=0得：ρcosθ-ρsinθ=0，
即直線l的直角坐標(biāo)方程為：x-y=0．
（2）圓心（1，0）到直線l的距離為d=

1

1+1

=

2

2

，
則圓上的點(diǎn)M到直線的最大距離
為d+r=

2

2

+1（其中r為曲線C的半徑），|AB|=2

12-( 2 2 )2

=

2

．設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
則過M且與直線l垂直的直線l'方程為：x+y-1=0，
則聯(lián)立方程

(x-1)2+y2=1 x+y-1=0

，
解得

x= 2 2 +1 y=- 2 2

，或

x=- 2 2 +1 y= 2 2

，
經(jīng)檢驗(yàn)

x=- 2 2 +1 y= 2 2

舍去．
故當(dāng)點(diǎn)M為(

2

2

+1，-

2

2

)時(shí)，△ABM面積的最大值為（S_△ABM）_max=

1

2

×

2

×(

2

2

+1)=

2 +1

2

．