Question

對于定義域為[0，1]的函數f（x）如果滿足以下三個條件：①對任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥2；②f（1）=3；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）-2成立．則稱函數f（x）為理想函數．
（1）判斷函數g（x）=2^x+1 （0≤x≤1）是否為理想函數，并予以證明；
（2）求定義域為[0，1]的理想函數f（x）的最大值和最小值；
（3）某同學發現：當x=

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2n

（n∈N）時，有f（

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2n

）≤

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2n

+2，由此他提出猜想：對一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2，請你根據該同學發現的結論（或其它方法）來判斷此猜想是否正確，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）欲判斷g（x）=2^x+1 （0≤x≤1）是不是滿足理想函數，即看它是否滿足①x∈[0，1]，f（x）≥2；②f（1）=3；下面一一驗證即可；
（2）先研究函數f（x）的單調性，從而得出此函數的最值．得到當x=0時，f（x）取得最小值2，當x=1時，f（x）取得最大值3即可；（3）由于對x∈（0，1]，總存在n∈N，

1

2n+1

＜x≤

1

2n

，再加上由（2）及該同學的結論，得f（x）≤f（

1

2n

）≤

1

2n

+2，又2x+2＞2•

1

2n+1

+2=

1

2n

+2，最后利用放縮法即得．

解答：解：（1）顯然g（x）=2^x+1 （0≤x≤1）滿足①x∈[0，1]，f（x）≥2；②f（1）=3；
若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，
則g（x₁+x₂）-[g（x₁）+g（x₂）]=2x1+x2-2x1-2x2-1=(2x1-1)(2x2-1)-2≥-2
即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）-2成立，故為理想函數…（4分）

（2）設x₁，x₂∈[0，1]，x₁＜x₂，則x₂-x₁∈（0，1]
∴f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-2
∴f（x₂）-f（x₁）≥f （x₂-x₁）-2≥0，
∴f（x₁）≤f（x₂），則當0≤x≤1時，f（0）≤f（x）≤f（1），
在③中，令x₁=x₂=0，得f（0）≤2，由②得f（0）≥2，
∴f（0）=2當x=1時，f（1）=3，
∴當x=0時，f（x）取得最小值2，
當x=1時，f（x）取得最大值3…（10分）

（3）對x∈（0，1]，總存在n∈N，

1

2n+1

＜x≤

1

2n

，由（2）及該同學的結論，得f（x）≤f（

1

2n

）≤

1

2n

+2，又2x+2＞2•

1

2n+1

+2=

1

2n

+2，
∴f（x）＜2x+2
綜上所述，對一切x∈（0，1]，都有f（x）＜2x+2…（16分）

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、抽象函數的應用、放縮法等，考查運算求解能力，化歸與轉化思想．屬于基礎題．