Question

【題目】已知圓和點.

（1）過點向圓引切線，求切線的方程；

（2）求以點為圓心，且被直線截得的弦長為8的圓的方程；

（3）設為（2）中圓上任意一點，過點向圓引切線，切點為，試探究：平面內是否存在一定點，使得為定值？若存在，請求出定點的坐標，并指出相應的定值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）存在；定點時，定值為或定點時，定值為.

【解析】

（1）討論斜率是否存在：當斜率不存在時，易判斷為圓的切線；當斜率存在時，設出直線方程，由圓心到直線距離等于半徑，即可求得斜率，進而確定直線方程.

（2）由點到直線距離公式可先求得點到直線的距離，再根據所得弦長和垂徑定理，即可確定半徑，進而得圓的方程；

（3）假設存在定點，使得為定值，設，，，根據切線長定理及兩點間距離公式表示出，代入并結合圓M的方程，化簡即可求得，進而代入整理的方程可得關于的一元二次方程，解方程即可確定的值，即可得定點坐標及的值.

（1）若過點的直線斜率不存在，直線方程為，為圓的切線；

當切線的斜率存在時，設直線方程為，

即，

∴圓心到切線的距離為，解得，

∴直線方程為

綜上切線的方程為或.

（2）點到直線的距離為，

∵圓被直線截得的弦長為8，∴，

∴圓的方程為.

（3）假設存在定點，使得為定值，設，，

∵點在圓上，

∴，則

∵為圓的切線，

∴，∴，

，

∴

即

整理得

若使對任意，恒成立，則，

∴，代入得，

化簡整理得，解得或，

∴或

∴存在定點，此時為定值或定點，此時為定值.