Question

【題目】已知函數f（x）=2|x+1|+|x﹣a|（a∈R）．
（1）若 a=1，求不等式 f（x）≥5的解集；
（2）若函數f（x）的最小值為3，求實數 a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當 a=1， ，當x≥1時，3x+1≥5，即 ，∴ ；

當﹣1＜x＜1時，x+3≥5，即x≥2，此時x無實數解；

當x≤﹣1時，﹣3x﹣1≥5，即x≤﹣2，∴x≤﹣2．

綜上所述，不等式的解集為{x|x≤﹣2，或 ．

（2）解：當a=﹣1時，f（x）=3|x+1|最小值為 0，不符合題意，

當a＞﹣1時， ，∴f（x）min=f（﹣1）=1+a=3，此時a=2；

當a＜﹣1時， ，f（x）min=f（﹣1）=﹣1﹣a=3，此時a=﹣4．

綜上所示，a=2或a=﹣4．

【解析】（1）把f（x）寫成分段函數的形式，分類討論，分別求得不等式 f（x）≥5的解集，綜合可得結論．（2）分當a=﹣1時、當a＞﹣1時、當a＜﹣1時三種情況，分別求得a的值，綜合可得結論．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．