Question

已知兩圓C₁：x²+y²-2y=0，C₂：x²+（y+1）²=4的圓心分別為C₁，C₂，P為一個動點，且直線PC₁，PC₂的斜率之積為-

1

2

（1）求動點P的軌跡M的方程；
（2）是否存在過點A（2，0）的直線l與軌跡M交于不同的兩點C、D，使得|C₁C|=|C₁D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由兩圓C₁：x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1；C₂：x²+（y+1）²=4，得兩圓的圓心坐標分別為C₁（0，1），C₂（0，-1）．設動點P的坐標為（x，y），利用斜率計算公式可得直線kPC1=

y-1

x

（x≠0），kPC2=

y+1

x

(x≠0)，再利用已知化簡即可．
（2）由題意可設直線l的方程為y=k（x-2）與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系．要使|C₁C|=|C₁D|，必須C₁N⊥l，即k•kC1N=-1．看是否有解即可．

解答：解：（1）由兩圓C₁：x²+y²-2y=0，即x²+（y-1）²=1；C₂：x²+（y+1）²=4．
得兩圓的圓心坐標分別為C₁（0，1），C₂（0，-1）
設動點P的坐標為（x，y），則直線kPC1=

y-1

x

（x≠0），kPC2=

y+1

x

(x≠0)，
由已知得

y-1

x

•

y+1

x

=-

1

2

(x≠0)，即

x2

2

+y2=1(x≠)．
所以動點P的軌跡M的方程為

x2

2

+y2=1(x≠0)．
（2）假設存在滿足條件的直線l．
∵點A（2，0）在橢圓M的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓M無交點，
因此直線l斜率存在，設為k，
則直線l的方程為y=k（x-2）
由方程組

x2 2 +y2=1 y=k(x-2)

得（2k²+1）x²-8k²x+8k²-2=0    ①
依題意△=-8（2k²-1）＞0解得-

2

2

＜k＜

2

2

．
當得-

2

2

＜k＜

2

2

時，設交點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點為N（x₀，y₀），
由①可得x1+x2=

8k2

2k2+1

，
則x0=

x1+x2

2

=

4k2

2k2+1

．
∴y0=k(x0-2)=k(

4k2

2k2+1

-2)=

-2k

2k2+1

                
要使|C₁C|=|C₁D|，必須C₁N⊥l，即k•kC1N=-1．
∴∴k•

-2k 2k2+1 -1

4k2 2k2+1 -0

=-1，即k2-k+

1

2

=0   ②
∵△1=1-4×

1

2

=-1＜0或，∴k2-k+

1

2

=0無解．           
所以不存在直線l，使得|C₁C|=|C₁D|．
綜上所述，不存在直線l，使得得|C₁C|=|C₁D|．

點評：本題綜合考查了圓的性質、橢圓的標準方程、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、垂直與斜率的關系等基礎知識與基本技能，考查了分類討論的思想方法、推理能力和計算能力．