Question

（I）求函數f（x）=log₃（1+x）+

3-4x

的定義域；
（II）已知函數f（x）=ax²+bx+c且f（0）=0，f（1）=f（-1）=2，求它的解析式，判斷并證明該函數的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）由對數的真數大于零和偶次根號下被開方數大于等于零，列出不等式求出x的范圍，再用區間或集合形式表示；
（2）根據條件列出方程組，求出a、b、c的值，代入解析式化簡，再求出定義域，判斷f（-x）與f（x）的關系，再下結論．

解答：解：（1）由題意得，

1+x＞0 3-4x≥0

，解得-1＜x≤

3

4

，
∴所求的函數的定義域是(-1，≤

3

4

]，
（2）由題意得，

c=0 a+b=2 a-b=2

，解得b=c=0，a=2，
∴f（x）=2x²，
函數的定義域是R，且f（-x）=2（-x）²=f（x），
∴f（x）=2x²是偶函數．

點評：本題考查了函數的定義域的求法，函數奇偶性的判斷，以及待定系數法求函數的解析式．