Question

（07年天津卷文）（14分）

設函數（），其中．

（Ⅰ）當時，求曲線在點處的切線方程；

（Ⅱ）當時，求函數的極大值和極小值；

（Ⅲ）當時，證明存在，使得不等式對任意的恒成立．

Answer 1

本小題主要考查運用導數研究函數的性質、曲線的切線方程，函數的極值、解不等式等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力及分類討論的思想方法．

解析：（Ⅰ）當時，，得，且

，．

所以，曲線在點處的切線方程是，整理得

．

（Ⅱ）

．

令，解得或．

由于，以下分兩種情況討論．

（1）若，當變化時，的正負如下表：

因此，函數在處取得極小值，且

；

函數在處取得極大值，且

．

（2）若，當變化時，的正負如下表：

因此，函數在處取得極小值，且

；

函數在處取得極大值，且

．

（Ⅲ）證明：由，得，當時，

，．

由（Ⅱ）知，在上是減函數，要使，

只要

即

　　　　　　　　①

設，則函數在上的最大值為．

要使①式恒成立，必須，即或．

所以，在區間上存在，使得對任意的恒成立．