Question

（07年天津卷文）（14分）

設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，，原點到直線的距離為．

（Ⅰ）證明；

（Ⅱ）求使得下述命題成立：設圓上任意點處的切線交橢圓于，兩點，則．

Answer 1

本小題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、圓的方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法及推理、運算能力．

解析：（Ⅰ）證法一：由題設及，，不妨設點，其中

，由于點在橢圓上，有，

，

解得，從而得到，

直線的方程為，整理得

．

由題設，原點到直線的距離為，即

，

將代入原式并化簡得，即．

證法二：同證法一，得到點的坐標為，過點作，垂足為，

易知，故

由橢圓定義得，又，所以

，

解得，而，得，即．

（Ⅱ）解法一：圓上的任意點處的切線方程為．

當時，圓上的任意點都在橢圓內，故此圓在點處的切線必交橢圓于兩個不同的點和，因此點，的坐標是方程組

的解．當時，由①式得

代入②式，得，即

，

于是，

．

若，則

．

所以，．由，得．在區間內此方程的解為．

當時，必有，同理求得在區間內的解為．

另一方面，當時，可推出，從而．

綜上所述，使得所述命題成立．