Question

【題目】已知函數，設函數的所有零點構成集合，函數的所有零點構成集合．

（1）試求集合、；

（2）令，求函數的零點個數．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析.

【解析】

（1）解方程，可得出集合，然后解方程和，可得出集合；

（2）令，由，可得出，對分、和三種情況討論，在時，求出方程的兩根、，然后討論方程和的判別式、的符號，綜上可得出函數的零點個數.

（1），令，解得，，故；

令，則，由上面知，函數的零點為和.

當時，，即，解得，；

當時，，即，解得，

故；

（2）令，，令.

①當，

即時，方程（*）無實數解，函數零點個數為個；

②當時，解方程（*），得，由，得，

因為，

所以該方程有兩實數解，從而函數的零點個數為個；

③當時，解方程（*）得，，，

由，得，，

由，得，，

因為，所以方程（***）必有兩實數解；

若，即時，方程（**）無實數解，從而函數的零點個數為個；

若，即時，方程（**）有兩個相等的實數解，從而函數的零點個數為個；

若，即時，方程（**）有兩個不等的實數解，從而函數的零點個數為4個．

綜上所述，當時，函數的零點個數為個；

當或時，函數的零點個數為個；

當時，函數的零點個數為個；

當時，函數的零點個數為個．