Question

【題目】正三棱柱（底面是正三角形，側棱垂直底面）的各條棱長均相等，為的中點．、分別是、上的動點（含端點），且滿足．當運動時，下列結論中正確的是______ (填上所有正確命題的序號)．

①平面平面；

②三棱錐的體積為定值；

③可能為直角三角形；

④平面與平面所成的銳二面角范圍為．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由，得到線段一定過正方形的中心，由平面，可得平面平面；

由的面積不變，到平面的距離不變，可得三棱錐的體積為定值；

利用反證法思想說明不可能為直角三角形；

平面與平面平行時所成角為0，當與重合，與重合，平面與平面所成的銳二面角最大.

如圖：

當、分別是、上的動點（含端點），且滿足，則線段一定過正方形的中心，而平面，平面，可得平面平面，故①正確；

當、分別是、上的動點（含端點），過點作邊上的高的長等于的長，所以的面積不變，由于平面，故點到平面的距離等于點到平面的距離，則點到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值；所以②正確；

由可得: ,若為直角三角形，則一定是以為直角的直角三角形，但的最大值為，而此時，的長都大于，故不可能為直角三角形，所以③不正確；

當、分別是、的中點，平面與平面平行，所成角為0；

當與重合，與重合，平面與平面所成銳二面角最大；

延長角于，連接，則平面平面，由于為的中點，，所以，且，故在中，為中點，為中點，

在中，為中點，為中點，故，由于平面，所以平面，則，， 所以平面與平面所成銳二面角最大為，故④正確；

故答案為①②④