【題目】一次足球邀請賽共安排了
支球隊參加，每支球隊預定的比賽場數分別是
，
，…，
．若任兩支球隊之間至多安排了一場比賽，則稱
是一個“有效安排”．證明：若是一個有效安排，且
，則可去掉一支球隊，并重新調整各隊之間的對局情況，使
也是一個有效安排．
【答案】見解析
【解析】
設預定比賽
場的隊為
．
（1）若
的
場比賽其對手恰好就是
，
，…，
，則直接去掉（當然，所參與的所有比賽也就被取消了）．于是，剩下的隊，，…，
之間的比賽，以
為有效安排．
（2）若球隊，，…，中有些隊并未安排與比賽，設在，，…，中自左至右第一支未安排與比賽的隊是
．
由于要賽場，于是，在，，…，之外必有一支球隊安排了與比賽（設為
）．
又由于
，故必有一支球隊
，它被安排了與比賽而未安排與
比賽，如圖所示．
下面對原安排作如下調整：
取消與、與的比賽，改為與、與進行比賽，其他比賽安排不變．
經過這次調整后，所有球隊的比賽場數不變，且是一個有效安排．而第一支不與比賽的隊的序號至少后移了一個位置，故經有限次這樣的調整之后，就變成了情形（1）．
因此，結論得證．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于數列
：
、
、
、
、
，若不改變，僅改變、、、中部分項的符號（可以都不改變），得到的新數列
稱為數列的一個生成數列，如僅改變數列
、
、
、
、
的第二、三項的符號，可以得到一個生成數列：、
、
、、.已知數列為數列
的生成數列，
為數列的前
項和.
（1）寫出
的所有可能的值；
（2）若生成數列的通項公式為
，求；
（3）用數學歸納法證明：對于給定的
，的所有可能值組成的集合為
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.對于不相等的實數x1，x2，設m＝
，n＝
，現有如下命題：
①對于任意不相等的實數x1，x2，都有m＞0；
②對于任意的a及任意不相等的實數x1，x2，都有n＞0；
③對于任意的a，存在不相等的實數x1，x2，使得m＝n；
④對于任意的a，存在不相等的實數x1，x2，使得m＝－n.
其中真命題有___________________（寫出所有真命題的序號）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
(1)當a=1時，求函數
在（2，
）處的切線方程:
(2)當a=2時，求函數的單調區間和極值;
(3)若
在
上是單調增函數，求實數a的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某食品廠為了檢查甲、乙兩條自動包裝流水線的生產情況，隨機在這兩條流水線上各抽取100件產品作為樣本稱出它們的質量（單位：毫克），質量值落在
的產品為合格品，否則為不合格品.如表是甲流水線樣本頻數分布表，如圖是乙流水線樣本的頻率分布直方圖.
產品質量/毫克 | 頻數 |
| 3 |
| 9 |
| 19 |
| 35 |
| 22 |
| 7 |
| 5 |
（1）由以上統計數據完成下面
列聯表，能否在犯錯誤的概率不超過0.15的前提下認為產品的包裝合格與兩條自動包裝流水線的選擇有關？
甲流水線 | 乙流水線 | 總計 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
總計 |
附表：
| 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
（參考公式：
，
）
（2）按照以往經驗，在每小時次品數超過180件時，產品的次品率會大幅度增加，為檢測公司的生產能力，同時盡可能控制不合格品總量，公司工程師抽取幾組一小時生產產品數據進行次品情況檢查分析，在
（單位：百件）件產品中，得到次品數量
（單位：件）的情況匯總如下表所示：
| 0.5 | 2 | 3.5 | 4 | 5 |
| 2 | 14 | 24 | 35 | 40 |
根據公司規定，在一小時內不允許次品數超過180件，請通過計算分析，按照公司的現有生產技術設備情況，判斷可否安排一小時生產2000件的任務？
（參考公式：用最小二乘法求線性回方程
的系數公式
；
）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，底面為矩形的四棱錐
，
底面
，
，
，
是
的中點.
（1）求四棱錐的體積；
（2）求
與面所成角；
（3）在
邊上是否存在一點
，使得
到平面
的距離為
？若存在，求出；若不存在，請說明理由.
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