Question

如右圖所示，ABCD－A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，側(cè)棱長為1，底面邊長為2，E是棱BC的中點(diǎn)．

(1)求證：BD₁∥平面C₁DE；
(2)求三棱錐D－D₁BC的體積．

Answer 1

(1)證明：連接D₁C交DC₁于F，連結(jié)EF.
∵ABCD—A₁B₁C₁D₁為正四棱柱，
∴四邊形DCC₁D₁為矩形，
∴F為D₁C中點(diǎn)．
在△CD₁B中，∵E為BC中點(diǎn)，∴EF∥D₁B.
又∵D₁B?面C₁DE，EF?面C₁DE，∴BD₁∥平面C₁DE.
(2)連結(jié)BD，VD－D₁BC＝VD₁－DBC，∵AC′是正四棱柱，
∴D₁D⊥面DBC.
∵DC＝BC＝2，∴S_△BCD＝×2×2＝2.
VD₁－DBC＝·S_△BCD·D₁D＝×2×1＝.
∴三棱錐D－D₁BC的體積為.

略