Question

設函數，在其圖象上一點P（x，y）處的切線的斜率記為f（x）．
（1）若方程f（x）=0有兩個實根分別為-2和4，求f（x）的表達式；
（2）若g（x）在區間[-1，3]上是單調遞減函數，求a²+b²的最小值．

Answer 1

解：（1）根據導數的幾何意義知f（x）=g'（x）=x²+ax-b
由已知-2、4是方程x²+ax-b=0的兩個實數
由韋達定理，∴，f（x）=x²-2x-8（7分）
（2）g（x）在區間[-1，3]上是單調減函數，
所以在[-1，3]區間上恒有f（x）=g'（x）=x²+ax-b≤0，即f（x）=x²+ax-b≤0在[-1，3]恒成立
這只需滿足即可，也即
而a²+b²可視為平面區域內的點到原點距離的平方，其中點（-2，3）距離原點最近，
所以當時，a²+b²有最小值13．（14分）
分析：（1）根據導數的幾何意義求出f（x）=g'（x），再根據-2、4是方程f（x）=0的兩個實數，由韋達定理建立方程組，解之即可；
（2）根據g（x）在區間[-1，3]上是單調減函數，得到函數g（x）在區間[-1，3]上恒有f（x）=g'（x）≤0，然后建立關于a和b的約束條件，而a²+b²可視為平面區域內的點到原點距離的平方，其中點（-2，3）距離原點最近，從而求出a²+b²的最小值．
點評：本題主要考查了導數的幾何意義，以及線性規劃的應用等基礎知識，考查靈活運用數形結合的思想方法進行探索、分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．