Question

已知α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，有下列三個條件 
①m∥γ，n?β；
②m∥γ，n∥β；    
③m?γ，n∥β，
要使命題“若α∩β=m，n?γ，且

③或①

，則m∥n”為真命題，則可以在橫線處填入的條件是

③或①

（把你認為正確條件的序號填上）

Answer 1

分析：A．可以在橫線處填入的條件是 ③．如圖1所示，即“若α∩β=m，n?γ，且m?γ，n∥β，則m∥n”為真命題．利用同一平面內兩條直線的位置關系可得m∥n或m∩n=P，由反證法排除m∩n=P即可；
B．可以在橫線處填入的條件是①，即“若α∩β=m，n?γ，且m∥γ，n?β，則m∥n”為真命題．如圖2所示，由α∩β=m，可得m?β，可得β∩γ=n，已知m∥γ，利用線面平行的性質定理可得m∥n．
C．在橫線處填入的條件不能是②．如圖3所示，即“若α∩β=m，n?γ，且m∥γ，n∥β；則m∥n”為假命題．舉反例：假設α∩γ=l，由m∥γ，可得m∥l．若n∩l=P，則m與n必不平行，否則與n∩lP相矛盾．

解答：解：A．可以在橫線處填入的條件是 ③．如圖1所示，
即若α∩β=m，n?γ，且m?γ，n∥β，則m∥n”為真命題．
證明如下：∵α∩β=m，n?γ，m?γ，∴m∥n或m∩n=P，
假設m∩n=P，則P∈n，P∈m，又α∩β=m，∴P∈β，
這與n∥β相矛盾，因此m∩n=P不成立，故m∥n．
B．可以在橫線處填入的條件是①，
即若α∩β=m，n?γ，且m∥γ，n?β，則m∥n”為真命題．
證明如下：如圖2所示，∵α∩β=m，∴m?β，
∵n?γ，n?β，∴β∩γ=n，
又m∥γ，∴m∥n．
C．在橫線處填入的條件不能是②．
如圖3所示，即“若α∩β=m，n?γ，且m∥γ，n∥β；則m∥n”為假命題．
證明：假設α∩γ=l，∵m∥γ，∴m∥l．
若n∩l=P，則m與n必不平行，否則與n∩lP相矛盾．
綜上可知：可以填的條件是③或①．

點評：熟練掌握空間點、線、面的位置關系是解題的關鍵．