Question

【題目】如圖，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，PA=AB=BC，AD=2AB，點M，N分別在PB，PC上，且MN∥BC．

（1）證明：平面AMN⊥平面PBA；
（2）若M為PB的中點，求二面角M﹣AC﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵MN∥BC，BC∥AD，∴MN∥AD，

∵PA⊥平面ABCD，

∴PA⊥AD，

又∵AD⊥AB，PA∩AB=A，

∴AD⊥平面PBA，

∴MN⊥平面PBA，

又∵MN平面AMN，

∴平面AMN⊥平面PBA．

（2）解：如圖，以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz，

不妨設AB=1，則：A（0，0，0），C（1，1，0）， ，

∴ ， ，

設平面AMC的法向量 ，則： ，

令x=1，則y=﹣1，z=﹣1，∴

平面ADC的一個法向量為 ，

∴ ，

∴二面角M﹣AC﹣D的余弦值為 ．

【解析】（1）推導出MN∥AD，PA⊥AD，從而AD⊥平面PBA，進而MN⊥平面PBA，由此能證明平面AMN⊥平面PBA．（2）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角M﹣AC﹣D的余弦值．
【考點精析】本題主要考查了平面與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直才能正確解答此題．