Question

【題目】已知函數

（1）若對任意，恒成立，求的值；

（2）設，若沒有零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）對函數求導得 ，通過單調性可知當時，函數取得極大值；若對任意，在上恒成立，

當且僅當，，即恒成立，得即，構造函數，通過單調性求的值.

（2），求導得

構造函數，則在區間內存在唯一零點，通過單調性求得的取值范圍.

解：（1），

當時，，在上是增函數；

當時，在上是減函數；

故當時，函數取得極大值.

若對任意，在上恒成立，

當且僅當，，即恒成立，

得即.

設，則.

當時，是增函數；

當時，是減函數，

所以當時，取得極大值，得.

所以，可得.

（2），所以

，

設，則在上是增函數，

又，

所以在區間內存在唯一零點，

即.

當時，，即；

當時，，即，所以在上是減函數，

在上是增函數，所以.

因為沒有零點，所以，

即，所以的取值范圍是.