Question

【題目】如圖，在三棱錐P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC，PA⊥PC．點E，F，O分別為線段PA，PB，AC的中點，點G是線段CO的中點．

（1）求證：FG∥平面EBO；

（2）求證：PA⊥BE．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）連AF交BE于Q，連QO．由線段長度間的關系證明FG∥QO，進而證得FG∥平面EBO．

（2）先證明BO⊥面PAC，可得BO⊥PA．由OE∥PC，PC⊥PA 可得OE⊥PA，從而證得PA⊥平面EBO，即可證出結論.

（1）連AF交BE于Q，連QO．因為E、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點，

所以＝2．又Q是△PAB的重心．于是＝2＝，所以FG∥QO．

因為FG平面EBO，QO平面EBO，所以FG∥平面EBO．

（2）由AB＝BC，得△ACB為等腰三角形，因為O為邊AC的中點，所以BO⊥AC，

因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO平面ABC，所以BO⊥面PAC．

因為PA平面PAC，故 BO⊥PA．在△PAC內，O，E為所在邊的中點，故 OE∥PC，

且PA⊥PC，∴OE⊥PA，又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO，EB平面EBO，所以PA⊥BE.