Question

（選做題）已知a，b，c為正實數，且a，b，c∈(1，

7

)．
（Ⅰ）證明：

1

a2-1

+

1

7-a2

≥

2

3

；
（Ⅱ）求

1

(a2-1)(7-b2)

+

1

(b2-1)(7-c2)

+

1

(c2-1)(7-a2)

的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先通分母，再利用基本不等式，即可證得結論；
（Ⅱ）利用柯西不等式，再結合基本不等式，可求最小值．

解答：（Ⅰ）證明：

1

a2-1

+

1

7-a2

=

6

(a2-1)(7-a2)

≥

6

( a2-1+7-a2 2 )2

=

2

3

，等號當且僅當a=2時成立
∴

1

a2-1

+

1

7-a2

≥

2

3

；
（Ⅱ）解：由柯西不等式知：

1

(a2-1)(7-b2)

+

1

(b2-1)(7-c2)

+

1

(c2-1)(7-a2)

≥

32

(a2-1)(7-b2) + (b2-1)(7-c2) + (c2-1)(7-a2)

≥

9

a2-1+7-b2 2 + b2-1+7-c2 2 + c2-1+7-a2 2

=1
等號當且僅當a=b=c=2時成立．
∴所求的最小值為1．

點評：本題考查基本不等式的運用，考查柯西不等式，正確運用柯西不等式是關鍵．