Question

（2010•綿陽二模）已知數列{a_n}滿足：a_n=log_n+1（n+2），n∈N^*，我們把使a₁•a₂•…•a_k為整數的數k（k∈N^*）叫做數列{a_n}的理想數．給出下列關于數列{a_n}的幾個結論：
①數列{a_n}的最小理想數是2．
②{a_n}的理想數k的形式可以表示為k=4ⁿ-2（n∈N^*）．
③對任意n∈N^*，有a_n+1＜a_n．
④

lim

n→+∞

an=0．
其中正確結論的序號為

①③

．

Answer 1

分析：由an=logn+1(n+2)=

log2(n+2)

log2(n+1)

，知a₁•a₂•…•a_k=log₂（n+2）．log₂（n+2）為整數的最小的n=2，數列{a_n}的最小理想數是2．{a_n}的理想數k的形式可以表示為k=2^n-1，對任意n∈N^*，有a_n+1＜a_n．

lim

n→+∞

an=1，故正確結論的序號為①③．

解答：解：an=logn+1(n+2)=

log2(n+2)

log2(n+1)

，
∴a₁•a₂•…•a_k=log₂（n+2）．
∵k∈N^*，∴log₂（n+2）為整數的最小的n=2，數列{a_n}的最小理想數是2．故①正確；
{a_n}的理想數k的形式可以表示為k=2^n-1，故②不成立；
對任意n∈N^*，有a_n+1＜a_n．故③成立；

lim

n→+∞

an=1，故④不成立．
故正確答案為①③．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要注意公式的合理運用．