Question

（1）已知M={x|3x+1≤(

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)x-2，x∈R}，當x∈M時，求函數y=2^x的值域．
（2）若函數f（x）=log_ax（a＞1）在[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根據指數的運算性質，將不等式3x+1≤(

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)x-2兩邊化為同底得3^x+1≤（3^-2）^（x-2），即3^x+1≤3^-2x+4，結合指數函數的單調性，可求出集合M，進而再由指數函數的值域和單調性，求出函數y=2^x的值域．
（2）當a＞1時，f（x）=log_ax在[a，2a]上單調遞增，故（x）的最小值為f（a），f（x）的最大值為f（2a），結合已知構造關于a的方程，解方程可得答案．

解答：解：（1）由3x+1≤(

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)x-2可得3^x+1≤（3^-2）^（x-2）
即3^x+1≤3^-2x+4
即x+1≤-2x+4
解得x≤1
故M={x|x≤1}
當x∈M={x|x≤1}時，即x≤1，此時0＜2^x≤2
故函數 y=2^x的值域為{y|0＜y≤2}．
（2）當a＞1時，f（x）=log_ax在[a，2a]上單調遞增，
∴f（x）的最小值為f（a）=log_aa=1
f（x）的最大值為f（2a）=log_a2a=log_a2+log_aa=log_a2+1
∵函數f（x）=log_ax（a＞1）在[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，
∴log_a2+1=3×1
解得a=

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點評：本題考查的知識點是指數函數的單調性，指數函數的值域，指數的運算性質及對數函數的單調性，熟練掌握指數函數和對數函數的圖象和性質是解答的關鍵．