Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，S_n=2a_n-2
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=log₂a_n，c_n=

1

bnbn+1

，記數列{c_n}的前n項和T_n，求T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）求出a₁=2，利用當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，得到數列的遞推關系式，判斷新數列是等比數列，然后求解數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用b_n=log₂a_n，c_n=

1

bnbn+1

，求出數列的通項公式，利用裂項法求解數列{c_n}的前n項和T_n．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=2，…（1分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）…（3分）
即：

an

an-1

=2，…（5分）
∴數列{a_n}為以2為公比的等比數列，
∴a_n=2ⁿ．…（7分）
（Ⅱ）由b_n=log₂a_n得b_n=log₂2ⁿ=n，…（9分）
則c_n=

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，…（11分）
T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．…（13分）

點評：本題考查數列的遞推關系式的應用，數列的通項公式以及裂項法求解數列的和，考查計算能力．