Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，E是側棱BB₁的中點．
（1）求證：A₁E⊥平面ADE；
（2）求三棱錐A₁-ADE的體積．

Answer 1

分析：（1）根據線面垂直的判定定理即可證明A₁E⊥平面ADE；
（2）利用錐體的體積公式求三棱錐A₁-ADE的體積．

解答：解：（1）證明：由勾股定理知，A₁E=

1+1

=

2

，AE=

1+1

=

2

，
則A₁A²=A₁E²+AE²，
∴A₁E⊥AE．
∵AD⊥平面AA₁B₁B，A₁E?平面AA₁B₁B，
∴A₁E⊥AD．
而AD∩AE=A，
∴A₁E⊥平面ADE．
（2）∵S_△AA1E=

1

2

•

2

•

2

=1，
∴V_A1-ADE=V_D-A1AE=

1

3

•S_△AA1E•AD=

1

3

×1×1=

1

3

．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定，以及空間三棱錐的體積計算，要求熟練掌握空間直線和平面位置關系的判斷，以及三棱錐的體積公式．