Question

A：（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，由θ=0，θ=

π

3

，ρcosθ+ρsinθ=1圍成圖形的面積是

3- 3

4

．
B：（幾何證明選講選做題）如圖，點A，B，C是圓O上的點，且AB=4，∠ACB=30°，則圓O的面積等于

16π

．
C：（不等式選講）要使關于x的不等式|x-1|+|x-1|≤3在實數范圍內有解，則a的取值范圍是

[-2，4]

．

Answer 1

分析：A：先利用直角坐標與極坐標間的關系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，將曲線的極坐標方程化成直角坐標方程，再利用直角坐標中點的坐標、直線的方程求解成的圖形的面積即可．
B：連接輔助線，根據圓周角是30°，得到對應的圓心角是60°，根據圓的半徑相等，得到三角形是一個等邊三角形，求出半徑的長度，根據圓的面積公式，得到結果．

解答：解：A：曲線ρcosθ+ρsinθ=1的直角坐標方程分別為：
x+y-1=0．它與x軸的交點為B（1，0）．
曲線θ=

π

3

的直角坐標方程分別為：

3

x-y=0．
它們的交點坐標為A（

1

3 +1

，

3

3 +1

），
∴由三條曲線 θ=0，θ=

π

3

，ρcosθ+ρsinθ=1圍成的圖形如圖所示．
∴S=

1

2

OB×h=

1

2

×1×

3

3 +1

=

3- 3

4

．
故答案為：

3- 3

4

．
B：解：連接OA，OB，
∵∠ACB=30°，
∴∠AoB=60°，
∴△AOB是一個等邊三角形，
∴OA=AB=4，
∴⊙O的面積是16π
故答案為16π．

點評：A：本小題考查簡單曲線的極坐標方程、點的極坐標和直角坐標的互化，能在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，體會在極坐標系和平面直角坐標系中刻畫點的位置的區別，能進行極坐標和直角坐標的互化．
B：本小題考查圓周角的性質，考查等邊三角形，考查圓的面積，是一個等邊三角形，在解題時主要做法是構造等邊三角形．