Question

是否存在圓錐曲線C，同時滿足下列兩個條件：

         （1）原點O及直線為曲線C的焦點和相應的準線；

         （2）被直線垂直平分的直線截曲線C所得的弦長恰好為。

         若存在，求出曲線C的方程，若不存在，說明理由。

                  

Answer 1

解：設存在符合題設的圓錐曲線C，此曲線離心率為（>0），P（x，y）是曲線C上任一點。

         由圓錐曲線的定義有

         化簡整理得，                ①

         設曲線C被直線垂直平分，其弦長為的弦所在直線方程為,這弦的兩個端點

         將代入①式中，消去y得

                                ②

         由題意0，

        

         由此可解得AB的中點D的坐標為

        

         由條件（2），中點D在，于是有：

        

         解③，代入④得。

         經檢驗符合題意，因此符合條件的曲線C存在，其方程為。

解析:

這是一道開放性的題目，探求滿足上述兩個條件的圓錐曲線是否存在，本題的難點是題目沒有具體的給出圓錐曲線的形狀，由條件（1）給出焦點和相應的準線，因此可考慮用圓錐曲線統一定義，設離心率為，通過計算，推理，探求的存在性。