Question

【題目】已知函數f（x）=xex﹣ae2x（a∈R）恰有兩個極值點x1 ， x2（x1＜x2），則實數a的取值范圍為 ．

Answer 1

【答案】（0， ）
【解析】解：函數f（x）=xex﹣ae2x可得f′（x）=ex（x+1﹣2aex），要使f（x）恰有2個極值點，
則方程x+1﹣2aex=0有2個不相等的實數根，
令g（x）=x+1﹣2aex ， g′（x）=1﹣2aex；
（i）a≤0時，g′（x）＞0，g（x）在R遞增，不合題意，舍，
（ii）a＞0時，令g′（x）=0，解得：x=ln ，
當x＜ln 時，g′（x）＞0，g（x）在（﹣∞，ln ）遞增，且x→﹣∞時，g（x）＜0，
x＞ln 時，g′（x）＜0，g（x）在（ln ，+∞）遞減，且x→+∞時，g（x）＜0，
∴g（x）max=g（ln ）=ln +1﹣2a =ln ＞0，
∴ ＞1，即0＜a＜ ；
所以答案是：（0， ）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．