Question

（本小題滿分13分）

已知直線，圓.

(Ⅰ)證明：對(duì)任意，直線恒過(guò)一定點(diǎn)N，且直線與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn)；

(Ⅱ)設(shè)以CN為直徑的圓為圓D（D為CN中點(diǎn)），求證圓D的方程為：

（Ⅲ）設(shè)直線與圓的交于A、B兩點(diǎn)，與圓D:交于點(diǎn)（異于C、N），當(dāng)變化時(shí)，求證為AB的中點(diǎn).

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)∵N在圓C內(nèi)，∴直線與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn).

(Ⅱ)軌跡的方程為.

【解析】

試題分析：（1）利用圓心到直線的距離小于半徑，判定，直線l與圓C總有兩個(gè)不同交點(diǎn)A、B；

（2）求解CN的中點(diǎn)坐標(biāo)和CN的長(zhǎng)度的一半得到圓心和半徑進(jìn)而求解圓的方程。

（3）利用圓的方程以及交點(diǎn)問(wèn)題得到求證。

(Ⅰ)方法1：聯(lián)立方程組

消去，得

∴直線與圓恒有兩個(gè)公共點(diǎn)………………………………………………6分

方法2：將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為

由可得：.

解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)N(1,-1)

∵N在圓C內(nèi)，∴直線與圓C恒有兩個(gè)公共點(diǎn).…………………………6分

(Ⅱ)設(shè)CN的中點(diǎn)為D，由于°，

∴

∴M點(diǎn)的軌跡為以CN為直徑的圓.

CN中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,0)，.

∴軌跡的方程為.……………………13分

考點(diǎn)：本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是對(duì)于圓的方程的求解的常用方法的運(yùn)用，以及通過(guò)圓心到直線的距離判定線圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。