Question

【題目】已知函數f（x）＝x2+2﹣alnx﹣bx（a＞0）．

（Ⅰ）若a＝1，b＝3，求函數y＝f（x）在（1，f（1））處的切線方程；

（Ⅱ）若f（x1）＝f（x2）＝0，且x1≠x2，證明：f′（）＞0．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.

【解析】

（Ⅰ）求f（x）的導數，可得切線的斜率，以及切點，由點斜式方程可得切線方程；

（Ⅱ）由函數零點定義，兩方程相減可得兩個零點之間的關系，用變量集中的方法，把兩個零點集中為一個變量，求導數，判斷單調性，即可得證..

解：（Ⅰ）若a＝1，b＝3，f（x）＝x2+2﹣lnx﹣3x，

導數為f′（x）＝2x﹣﹣3，

可得在x＝1處切線的斜率為﹣2，

f（1）＝0，可得切線方程為y＝﹣2（x﹣1），

即為2x+y﹣2＝0；

（Ⅱ）證明：若f（x1）＝f（x2）＝0，且x1≠x2，

可得x12+2﹣alnx1﹣bx1＝0，x22+2﹣alnx2﹣bx2＝0，

兩式相減可得（x1﹣x2）（x1+x2）﹣a（lnx1﹣lnx2）﹣b（x1﹣x2）＝0，

即有x1+x2﹣b＝a，

可設x0＝，

由f′（x0）＝2x0﹣﹣b＝（x1+x2﹣b）﹣

＝a﹣

＝[ln﹣]

＝[ln﹣]，

令t＝，t＞1，可得f′（x0）＝[lnt﹣]，

設u（t）＝lnt﹣，t＞1，

導數為u′（t）＝﹣＝＞0，

可得u（t）在t＞1遞增，且u（1）＝0，

可得u（t）＞u（1）＝0，

即lnt﹣＞0，

又a＞0，x2﹣x1＞0，可得f′（x0）＞0，

綜上可得f′（）＞0．