Question

數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1•

1 a 2 n + 4

=1，記S_n=a12+a22+…+an2，若S_n+1-S_n≤

m

30

對任意的n∈N^*恒成立，則正整數m的最小值為

6

．

Answer 1

分析：根據遞推式，可得出數列{

1

an2

}是以1為首項，4為公差的等差數列，從而可得an2=

1

4n-3

，再根據S_n=a12+a22+…+an2，可得S_n+1-S_n=an+12=

1

4n+1

，要使S_n+1-S_n≤

m

30

對任意的n∈N^*恒成立，則

1

5

≤

m

30

，故可求正整數m的最小值．

解答：解：∵a_n+1•

1 a 2 n + 4

=1，
∴

1 a 2 n + 4

=

1

an+1

∴

1

an+12

-

1

an2

=4
∵a₁=1，
∴

1

a1

=1
∴數列{

1

an2

}是以1為首項，4為公差的等差數列
∴

1

an2

=1+4(n-1)=4n-3
∴an2=

1

4n-3

∵S_n=a12+a22+…+an2，
∴S_n+1-S_n=an+12=

1

4n+1

∵n∈N^*，∴n=1時，an+12的最大值為

1

5

要使S_n+1-S_n≤

m

30

對任意的n∈N^*恒成立，則

1

5

≤

m

30

∴m≥6，∴正整數m的最小值為6
故答案為：6

點評：本題以數列遞推式為載體，考查等差數列的通項，考查最值法解決恒成立問題，解題的關鍵是確定數列{

1

an2

}是以1為首項，4為公差的等差數列，將S_n+1-S_n≤

m

30

對任意的n∈N^*恒成立，轉化為

1

5

≤

m

30

，屬于中檔題．