Question

【題目】已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．

(1) 求拋物線的方程；

(2) 當點為直線上的定點時，求直線的方程；

(3) 當點在直線上移動時，求的最小值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】試題分析：（1）設拋物線的方程為，利用點到直線的距離,求出,得到拋物線方程；（2）對拋物線方程求導,求出切線的斜率,用點斜式寫出切線方程,化成一般式,找出共同點,得到直線的方程；（3）由拋物線定義可知，聯立直線與拋物線方程,消去,得到一個關于的一元二次方程,由韋達定理求得的值,還有,將表示成的二次函數的形式,再求出最值.

試題解析: 解：（1）依題意，設拋物線的方程為，由結合，

解得，所以拋物線的方程為.

（2）拋物線的方程為，即，求導得，

設 (其中)則切線的斜率分別為，

所以切線的方程為，即，即，

同理可得切線的方程為，

因為切線均過點，所以， ，

所以為方程的兩組解，

所以直線的方程為.

（3）由拋物線定義可知，

聯立方程，消去整理得.

由一元二次方程根與系數的關系可得，

所以

又點在直線上，所以，

所以，

所以當時， 取得最小值,且取得最小值為.