Question

【題目】已知函數，其中為常數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若有兩個相異零點，求證：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）對f′（x）中的k分類討論，根據f′（x）的正負判斷函數的單調性即可.

（2）由題意得lnx1﹣kx1＝0，lnx2﹣kx2＝0，兩式作差可得，lnx1﹣lnx2＝k（x1﹣x2）,k＝，要證lnx1+lnx2＞2即k（x1+x2）＞2，將k代換后，化簡變形得，設t1，構造函數g（t），利用新函數的導數求出單調區間，證得g（t）＞g（1）＝0即可．

（1），

①當時，，在區間上單調遞增；

②當時，由，得，所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

（2）因為，是的兩個零點，則，，

所以，.

要證，只要證，即證，

即證，即證，只要證.

設，則只要證.

設，則，所以在上單調遞增.

所以，即，所以，即.