Question

設O是正三棱錐P-ABC底面是三角形ABC的中心，過O的動平面與PC交于S，與PA、PB的延長線分別交于Q、R，則和式（   ）
A．有最大值而無最小值                   B．有最小值而無最大值
C．既有最大值又有最小值，兩者不等       D．是一個與面QPS無關的常數

Answer 1

D

設正三棱錐P-ABC中，各側棱兩兩夾角為α，PC與面PAB所成角為β，則v_S-PQR=S_△PQR·h=PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，記O到各面的距離為d，則v_S-PQR=v_O-PQR+v_O-PRS+v_O-PQS，S_△PQR·d=_△PRS·d+S_△PRS·d+_△PQS·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即=常數。故選D。