Question

設(shè)A(－2，0)，B(2，0)，M為平面上任一點，若|MA|＋|MB|為定值，且cosAMB的最小值為．

(1)求M點軌跡C的方程；

(2)過點N(3，0)的直線l與軌跡C及單位圓x²＋y²＝1自右向左依次交于點P、Q、R、S，若|PQ|＝|RS|，則這樣的直線l共有幾條？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設(shè)M(x，y)，∵在△AMB中，AB＝4，|MA|＋|MB|是定值．可設(shè)|MA|＋|MB|＝2a(a＞0)． 　　∴cosAMB＝＝ 　　＝－1．　　3分 　　而|MA|＋|MB|≥2，∴|MA|·|MB|≤a2． 　　∴－1≥－1．∵cosAMB最小值為－， 　　∴－1＝－．∴a＝．　　6分 　　∴|MA|＝|MB|＝2＞|AB|．∴M點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓，且a＝，c＝2． 　　∴b2＝a2－c2＝2．∴曲線C的方程是＝1．　　8分 　　(2)設(shè)直線l的方程是y＝k(x－3)． 　　1°當k＝0時，顯然有|PQ|＝|RS|；此時l的方程是y＝0． 2°當k≠0時，∵|PQ|＝|RS|，∴PS與RQ的中點重合，設(shè)中點為G，則OG⊥PS． 　　由，得(1＝3k2)x2－18k2x＝27k2－6＝0．　　11分 　　設(shè)P(x1，y1)，S(x2，y2)，則x1＝x2＝，y1＝y2＝k(x1－3)＝k(x2－3)＝． 　　∴G(，)．∴×k＝－1無解，此時l不存在， 　　綜上，存在一條直線l：y＝0滿足條件．