Question

（2012•許昌縣一模）在平面直角坐標系xOy中，點P（0，-1），點A在x軸上，點B在y軸非負半軸上，點M滿足：

AM

=2

AB

，

PA

•

AM

=0
（Ⅰ）當點A在x軸上移動時，求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設Q為曲線C上一點，直線l過點Q且與曲線C在點Q處的切線垂直，l與C的另一個交點為R，若以線段QR為直徑的圓經巡原點，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

AM

=2

AB

，可得坐標之間的關系，利用

PA

•

AM

=0，即可求得C的方程；
（Ⅱ）設出直線l的方程與y=2x²聯立，利用韋達定理，結合

OQ

⊥

OR

，可得結論．

解答：解：（Ⅰ）設A坐標是（a，0），M坐標是（x，y），B（0，b），則

AM

=（x-a，y），

AB

=（-a，b），

PA

=（a，1）
∵

AM

=2

AB

，∴有（x-a，y）=2（-a，b），即有x-a=-2a，y=2b，即x=-a，y=2b
∵

PA

•

AM

=0，∴有a（x-a）+y=0
∴-x（x+x）+y=0，∴-2x²+y=0
即C的方程是y=2x²；
（Ⅱ）設Q（m，2m²），直線l的斜率為k，則y′=4x，∴k=-

1

4m

∴直線l的方程為y-2m²=-

1

4m

（x-m）
與y=2x²聯立，消去y可得2x²+

1

4m

x-2m²-

1

4

=0，該方程必有兩根m與x_R，且mx_R=-m²-

1

8

∴（2m²）y_R=4（-m²-

1

8

）²
∵

OQ

⊥

OR

，∴mx_R+（2m²）y_R=0，∴-m²-

1

8

+4（-m²-

1

8

）²=0，∴m=±

2

4

∴直線l的方程為y=±

2

2

x+

1

2

．

點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與拋物線的位置關系，正確運用向量知識是關鍵．