Question

（2013•長春一模）請考生在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．
如圖，已知⊙O和⊙M相交于A、B兩點，AD為⊙M的直徑，直線BD交⊙O于點C，點G為

BD

中點，連接AG分別交⊙O、BD于點E、F，連接CE．
（1）求證：AG•EF=CE•GD；
（2）求證：

GF

AG

=

EF2

CE2

．

Answer 1

分析：（1）連接AB，由圓周角定理，及G為

BD

中點，可得∠GAD=∠FCE，∠CEF=∠ABC=90°，進而得到△CEF∽△AGD，根據相似三角形對應邊成比例，可得AG•EF=CE•GD；
（2）由（1）可得∠DFG=∠CFE=∠ADG，故△AGD∽△DGF，根據相似三角形對應邊成比例，可得

GF

DG

=

DG

AG

=

EF

CE

，進而

GF

AG

=

EF2

CE2

．

解答：證明（1）：已知AD為⊙M的直徑，連接AB，
則∠BCE=∠BAE，∠CEF=∠ABC=90°，
由點G為弧BD的中點可知∠GAD=∠BAE=∠FCE，
故△CEF∽△AGD，所以有

CE

AG

=

EF

GD

，
即AG•EF=CE•GD．（5分）
（2）由（1）知∠DFG=∠CFE=∠ADG，
故△AGD∽△DGF，
所以

GF

DG

=

DG

AG

=

EF

CE

，
即

GF

AG

=

EF2

CE2

．（10分）

點評：本小題主要考查平面幾何中三角形相似的判定與性質，以及圓中角的性質等知識．