Question

如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，，，面，設為中點，點在線段上且．
（1）求證：平面；
（2）設二面角的大小為，若，求的長．

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）2 .

試題分析：（1）由已知條件用余弦定理和勾股定理推導出AB⊥AC．又PA⊥面ABCD，以AB，AC，AP分別為x，y，z軸建立坐標系．利用向量法能求出BE∥平面ACF．
（2）分別求出面PCD法向量和面ACF的法向量，由，利用向量法能求出PA的長．
（1）由，得，．
又面，所以以分別為軸建立坐標系如圖．
則   2分
設，則 ．
設，得：．
解得：，，，
所以．                                4分
所以,，．
設面的法向量為，則，取．
因為，且面，所以平面．   6分
（2）設面法向量為，因為，，
所以，取 ．             9分
由，得．
，得，∴，所以．      12分