Question

（2013•重慶）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，AF⊥PB．
（1）求PA的長(zhǎng)；
（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．

Answer 1

（1）2     （2）

（1）如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O
∵BC=CD，AC平分角BCD，∴AC⊥BD
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC所在直線分別為x軸、y軸，
建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz，
則OC=CDcos=1，而AC=4，可得AO=AC﹣OC=3．
又∵OD=CDsin=，
∴可得A（0，﹣3，0），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）
由于PA⊥底面ABCD，可設(shè)P（0，﹣3，z）
∵F為PC邊的中點(diǎn)，∴F（0，﹣1，），由此可得=（0，2，），
∵=（，3，﹣z），且AF⊥PB，
∴•=6﹣=0，解之得z=2（舍負(fù)）
因此，=（0，0，﹣2），可得PA的長(zhǎng)為2；
（2）由（1）知=（﹣，3，0），=（，3，0），=（0，2，），
設(shè)平面FAD的法向量為=（x₁，y₁，z₁），平面FAB的法向量為=（x₂，y₂，z₂），
∵•=0且•=0，∴，取y₁=得=（3，，﹣2），
同理，由•=0且•=0，解出=（3，﹣，2），
∴向量、的夾角余弦值為cos＜，＞===
因此，二面角B﹣AF﹣D的正弦值等于=